Hoe pak ik een wiskunde probleem aan?

Een goede aanpak kan je helpen bij het oplossen van een wiskunde opgave, zelfs als die opgave moeilijk lijkt. In deze post laat zien hoe je een probleem gestructureerd kunt aanpakken, en ook waarom die aanpak buiten de wiskunde van pas kan komen.

Introductie

Een olympische sporter kan 2 meter hoog springen. Dat is heel knap, en gemakkelijk ook als je thuis iets van een hoge plank wilt pakken. De meeste mensen kunnen dat echter niet en vinden het handiger om gewoon een keukentrapje te pakken. Hetzelfde geldt bij wiskunde; een geniale wiskundige springt misschien meteen van de opgave naar het antwoord, maar voor de meesten is het handiger om in een paar kleinere stappen tot de oplossing te komen.

Sterker nog, het is vaak beter als je in kleinere stappen tot een oplossing komt. Het is namelijk niet alleen de bedoeling dat je het goede antwoord geeft, maar ook dat je uitlegt hoe je dat antwoord hebt gevonden. Dit is heel belangrijk tijdens een wiskunde proefwerk: doorgaans levert een goede uitwerking de meeste punten op, veel meer dan alleen een goed antwoord. Zelfs als je een foutje maakt krijg je nog gedeeltelijk punten voor de uitwerking. Dus als je de stappen die je hebt gedaan niet opschrijft, dan laat je gewoon punten liggen!

Overigens doen wiskundeleraren dat niet voor zomaar de lol. Uitleggen waarom iets een goed antwoord is heb je in allerlei beroepen nodig, zeker als het om iets belangrijks gaat. Als dokter moet je aan patiënten uitleggen waarom je een bepaalde behandeling adviseert, als ZZP-er moet je aan je klanten uitleggen waarom je zoveel geld vraagt in een offerte, als ingenieur moet je aan je collega’s uitleggen waarom een ontwerp gaat werken, als leidinggevende moet je aan je werknemers uitleggen waarom bepaalde beslissingen worden genomen¹.

Enfin, genoeg achtergrond. Hoe pak je een probleem aan?

Methode

De methode is altijd hetzelfde:

Gegevens: wat weet je al?
Vraag: wat wordt er gevraagd?
Plan van aanpak: hoe ga je het oplossen?
Uitwerking: de stappen naar de oplossing.
Controle: klopt je antwoord?

Hieronder leg ik de stappen in iets meer detail uit, en verderop heb ik een voorbeeld.

Gegevens

Schrijf op wat je al weet. In het geval van de simpelste sommen is deze stap niets anders dan de som overschrijven. Als je echter een verhaaltjes som hebt waar de informatie in een hoop tekst verwerkt is dan helpt het om die informatie op een gestructureerde manier op een rijtje te zetten. Het maken van een schets van de situatie is vaak ook erg nuttig.

Geef korte namen (een enkele letter) aan belangrijke dingen uit de opgave die nog geen naam hebben, en zet beweringen om in formules. Van “Marie heeft 3 keer zoveel appels als Nico” kun je bijvoorbeeld maken:

\(M = \) het aantal appels dat Marie heeft
\(N = \) het aantal appels dat Nico heeft
\(M = 3 N \) : Marie heeft drie keer zoveel appels als Nico

We doen dit allemaal om er voor te zorgen dat alle informatie op een rijtje staat en we voor de rest van de opgave niet meer terug hoeven te kijken in het boek. Na deze stap hoef je alleen nog maar op het blaadje te kijken waarop je de opgave uitwerkt. Het betekent ook dat de leraar bij het nakijken kan zien welke gegevens jij uit de opgave hebt gehaald, en (aangezien het om wiskunde gaat en niet om begrijpend lezen) zul je minder punten mislopen als je hier een foutje maakt, maar de rest van de opgave wel goed uitwerkt².

Overigens is dit gewoon een goede manier om te communiceren die niet alleen bij wiskunde geldt. Als je een e-mail, brief, of verslag schrijft of je geeft een spreekbeurt of presentatie, dan is het altijd een goed idee om even een korte introductie en samenvatting te geven zodat de lezer of luisteraar weet waar het over gaat.

Vraag

Check wat er van je gevraagd wordt. Bij de simpelste sommen moet je gewoon de uitkomst uitrekenen, maar bij de ingewikkeldere opgaven is het goed om even te kijken wat precies de vraag is. Omdat je in de vorige stap alles al een naam hebt gegeven kun je de vraag heel kort opschrijven.

In veel wiskunde opgaves wordt de waarde van \(x\) gevraagd³. Maar soms zit het iets anders:

\(V = \) de hoogte van de vrachtwagen in meters
\(W = \) de hoogte van het viaduct in meters
Past de vrachtwagen onder het viaduct door?

Het lijkt er op data je hier \(V\) en \(W\) moet uitrekenen, maar eigenlijk is de vraag: \(V < W\) ? Aantonen dat het ene ding kleiner is dan het andere is wellicht minder werk dan precies uitvogelen hoe groot ze zijn. Ga maar na: als je bij 2 personen wilt kijken wie de grootste is, dan is het het handigste om ze langs elkaar te zetten, en niet om een meetlat te zoeken, ze allebei op te meten, en dan hun lengte in centimeters te vergelijken.

Dus als je goed helder krijgt wat er precies gevraagd wordt dan kan je dat een hoop onnodig werk besparen⁴.

Plan van aanpak

Verzin hoe je het probleem aan kunt pakken. Voor simpele sommen is het wederom gewoon de uitkomst uitrekenen, maar bij ingewikkeldere opgaven kan het nut hebben om eventjes over een strategie na te denken.

Bij het uitrekenen van de oppervlakte van een driehoek heb je bijvoorbeeld 3 verschillende zijdes die je als basis kunt kiezen. Wellicht maakt 1 van die keuzes de opgave gemakkelijker om uit te rekenen.

Het idee is dat je even nadenkt over de stappen die je in de uitwerking gaat doen, maar nog niet het rekenwerk zelf doet. Dit is om te voorkomen dat je enthousiast aan het rekenen slaat, maar uiteindelijk vast loopt, of veel tijd kwijt bent terwijl je een simpelere aanpak had kunnen gebruiken.

Het is ook een goed idee om op dit punt alvast een schatting te maken van wat het antwoord is. Op dit moment heb je alle gegevens op een rijtje, maar ben je nog niet bevooroordeeld, omdat je het antwoord nog niet hebt uitgerekend.

Naar mate je meer wiskunde kent, en je wiskundige gereedschapskist groter is, zul je meer manieren hebben om een opgave aan te pakken. Je kunt dan zelf de aanpak kiezen die jij het gemakkelijkste vindt. De enige uitzondering is wellicht als je een proefwerk over een bepaald hoofdstuk hebt; dan wil je wiskunde leraar zien dat je de stof uit dat hoofdstuk begrijpt en dan is het dus een goed idee om de aanpak te gebruiken die je in dat hoofdstuk geoefend en geleerd hebt⁵.

Voor wiskunde opgaven is deze “Plan van aanpak” stap iets wat je in je hoofd doet, en die je doorgaans niet hoeft op te schrijven. Als je later echter ooit aan een wat serieuzer ontwerp of onderzoeksrapport moet maken dan is het een goed idee om alle alternatieven op een rijtje te zetten, om te laten zien dat je daar aan gedacht hebt, en om uit te leggen waarom je uiteindelijk voor een bepaalde uitwerking bent gegaan.

Uitwerking

Je hebt alle gegevens op een rijtje gezet, weet wat er gevraagd wordt, en je hebt een plan van aanpak. Nu is het tijd om de stappen uit te voeren en op te schrijven.

Met de goede voorbereiding zou deze stap soepel moeten verlopen. Soms loop je echter vast. Misschien werkt je aanpak toch niet, of mis je een van de gegevens die je nodig hebt in je volgende reken stap. Dan is het tijd om even terug te kijken. Misschien was een andere aanpak toch beter? Of misschien moet je je aanpak uitbreiden om ook de missende gegevens uit te rekenen⁶? Of misschien ben je vergeten iets uit de opgave op te nemen in je lijst van gegevens?

Zorg in ieder geval dat je alle stappen duidelijk opschrijft, zodat iedereen ze terug kan lezen en snapt wat je doet. Dit is belangrijk zodat de leraar je punten kan geven bij een proefwerk, maar ook zodat je zelf nog weet wat je gedaan hebt als je je huiswerk gaat nakijken, of als je aan een medeleerling wilt uitleggen hoe je iets aangepakt hebt.

Controle

Controleer of je antwoord goed is. Als je een antwoordenboek hebt dan is dat handig, maar tijdens een proefwerk, en ook in je latere baan is er geen antwoordenboek. Daarom is het goed om ook te oefenen met het controleren van je antwoord zonder een antwoordenboek.

Je kunt kijken of je antwoord overeenkomt met je eerdere schatting. Als dat zo is dan verhoogt dat je vertrouwen in het antwoord. Als ze echter heel erg verschillend zijn dan is de vraag of je een fout in je uitwerking hebt gemaakt of in de schatting. Dat is een nadeel, maar tijdens een proefwerk is dit misschien de enige optie waar je genoeg tijd voor hebt.

De simpelste aanpak om zeker te weten of je antwoord goed is: vul je antwoord in in de originele opgave en kijk of het klopt:

Gegeven: \(3 x+5 = 11\)
Gevraagd: \(x\)
Uitwerking:
\(3 x+5 = 11\)
…
\(x = 2 \)
Controle: \(3 \times 2 + 5 = 6 + 5 = 11\)

Als er niet genoeg informatie in de originele opgave zit dan kun je jouw antwoord doorrekenen met wat simpele voorbeelden. Bijvoorbeeld:

Opgave: Een werkgever verlaagt al zijn lonen met 10%, maar na hevige protesten verhoogt hij de lonen weer. Met hoeveel procent moet de werkgever zijn lonen weer verhogen om op het oude niveau uit te komen?

Misschien denk je: dat is simpel: 10%. Maar als ik even een voorbeeld neem van iemand met een loon van €100, en dat verlaag met 10% dan blijft er €90 over. Als ik het daarna weer verhoog met 10% dan kom ik op €99 uit. Dus ik weet dat 10% niet het goede antwoord is⁷.

Voor wiskunde opgaven is deze “Controle” stap iets wat je meestal niet perse hoeft op te schrijven, hoewel leraren er vaak geen bezwaar tegen zullen hebben als het wel doet.

Als blijkt dat je antwoord niet goed is dan moet je gaan kijken waar de fout zit⁸. Dit is heel belangrijk om te doen: het vinden van de fout en leren hoe je deze de volgende keer kunt voorkomen is hoe je beter in wiskunde wordt. Je leert hierdoor waar je de meeste moeite mee hebt, waar je nog op moet oefenen, en welke vragen je in de les moet stellen.

Je werk laten nakijken is ook een manier. Als je leraar jouw proefwerk nakijkt dan is het echter te laat om je punt te verbeteren. Dus maak gebruik van alle kansen die je hebt voor je proefwerk; leer van het nakijken van je huiswerk in de les, door de uitleg van de leraar te volgen, en/of door samen te werken met je medeleerlingen.

Overigens is nakijken ook de manier die in het bedrijfsleven wordt gebruikt⁹ dan kijken je collega’s je werk na. Zij hebben ook geen antwoordenboek, maar als zij ook geen fouten kunnen vinden dan is het erg aannemelijk dat het antwoord goed is¹⁰. Daarbij is het natuurlijk wel belangrijk dat je alle bovenstaande stappen goed gevolgd hebt, zodat ze jouw werk gemakkelijk kunnen nakijken; Als je alleen “Ja” opschrijft als antwoord op de vraag “Is deze brug stevig genoeg om een trein over te laten rijden?”, dan kunnen je collega’s daar ook niets mee.

Veel werk?

Dit is een erg lange post geworden, en het klinkt ook als veel werk om dit allemaal te doen. Is dit echt nodig?

Het is inderdaad een stuk meer werk an alleen het antwoord opschrijven, zoals je misschien gewend bent. Het zal echter moeilijker en moeilijker worden om meteen het goede antwoord op te schrijven naarmate je verder in de wiskunde komt. Op een gegeven moment heb je een gestructureerde aanpak nodig die je verder helpt.

Het lijken misschien veel stappen, maar de stappen zelf zijn niet moeilijk. Ze breken een wiskunde opgave op in kleinere, gemakkelijkere stappen. En met oefening wordt je vanzelf sneller in het zetten van die stappen, dus vaak kost het niet eens veel extra tijd.

Voor hele simpele opgaven kun je er voor kiezen om wat stappen over te slaan, maar zodra het iets lastiger wordt is het een goed idee om ze allemaal te volgen. Als er tijdsdruk is, zoals tijdens een proefwerk, dan kun je er ook voor kiezen om stappen over te slaan die voor jou niet veel toevoegen, en die je geen punten laten mislopen. Welke dat zijn, dat weet je zelf het beste, aangenomen dat je ze in de les en met het maken van je huiswerk geoefend hebt.

Voorbeeld

Hier even een voorbeeld opgave, waar ik alle stappen laat zien:

Er zijn twee herders, genaamd Alice en Bob. Alice zegt tegen Bob: “Als jij een schaap aan mij geeft dan zou ik twee keer zoveel schapen als jij hebben.” Bob zegt tegen Alice: “Maar het is veel eerlijker als jij een schaap aan mij zou geven want dan hebben we allebei evenveel schapen.”
Hoeveel schapen hebben Alice en Bob?

Gegevens

\(A = \) Het aantal schapen dat Alice heeft
\(B = \) Het aantal schapen dat Bob heeft
\(A+1 = 2 (B-1)\): Als Alice een schaap van Bob erbij krijgt dan heeft Alice twee keer zoveel schapen als Bob
\(A-1 = B+1\): Als Alice een schaap aan Bob geeft dan hebben ze allebei evenveel schapen.

Hier zie je dat het opschrijven van de gegevens meer is dan alleen maar het overschrijven van de opgave: we hebben de tekst omgezet in formules, iets wat ons bij de volgende stappen gaat helpen.

Vraag

\(A\) en \(B\)

Plan van Aanpak

Er zijn verschillende aanpakken mogelijk:

Gokken; we gaan gewoon verschillende waardes voor \(A\) en \(B\) uitproberen totdat we een combinatie vinden die klopt.
Dit is een stelsel van lineaire vergelijkingen, en er zijn allerlei verschillende standaard manieren om deze op te lossen, waaronder:
- Gauss-eliminatie, ook wel vegen of combineren genoemd
- Substitutie: schrijf 1 van de vergelijkingen om en vul ‘m in in de andere vergelijking
- Grafisch: teken de vergelijkingen als lijnen en vind het snijpunt

Ik vind het lastig om al een schatting te maken, maar ik zie dat \(A\) en \(B\) niet ver uit elkaar kunnen liggen; vanwege \(A-1=B+1\) kan er maar 2 verschil tussen zitten.

Het gokken zou wel eens lang kunnen duren, en Gauss-eliminatie klinkt als overkill. Persoonlijk vind ik de substitutie handig, maar er staat al genoeg tekst in deze post, dus laat ik de grafische aanpak gebruiken.

Bij de grafische aanpak moet ik de vergelijkingen omzetten naar de standaard vorm voor een lijn: \(y = \ldots x + \ldots\), of in mijn geval \(A = \ldots B + \ldots\), en daarna kan ik de lijnen tekenen, en vervolgens het snijpunt aflezen. Het snijpunt is het antwoord op de opgave omdat de lijnen aangeven waar de individuele vergelijkingen zijn opgelost, en het snijpunt dus het punt is waarop allebei de vergelijkingen zijn opgelost.

Uitwerking

Zet de vergelijkingen om naar de vergelijking voor een lijn:

\[\begin{align}
A+1 &= 2(B-1) \\
A &= 2(B-1)-1 \\
A &= 2 B – 3
\end{align}\]

\[\begin{align}
A-1 &= B + 1 \\
A &= B + 2
\end{align}\]

Deze twee vergelijkingen kan ik tekenen als lijnen in een grafiek, met A op de verticale as en B op de horizontale as:

We zien dat het snijpunt ligt op \(B = 5\) en \(A = 7\).

Antwoord: Alice heeft 7 schapen en Bob heeft 5 schapen.

Controle

We kunnen kijken wat er zou gebeuren als Alice en Bob een schaap aan elkaar zouden geven wanneer Alice 7 schapen heeft en Bob 5 schapen.

Als Bob een schaap aan Alice geeft dan heeft Alice er 8 en Bob 4, en 8 is inderdaad twee keer zoveel als 4.

Als Alice een schaap aan Bob geeft dan heeft Alice er 6 en Bob heeft er ook 6, dus dan hebben ze inderdaad evenveel schapen.