Rekenen met letters – raptorsnest.nl

Bij wiskunde denken veel mensen aan formules, met (rare) letters en symbolen er in. Dat schrikt misschien af, maar eigenlijk heb je dat soort formules al op de basisschool gehad. Daar gebruikten ze alleen geen letters, maar puntjes of vlekken.

Op de basisschool kreeg je opgaves als:
$5+\ldots = 8$
Welk getal hoort er op de plek van de puntjes te staan?
Of:
$5+$$ =8 $
Welk getal zit er verstopt onder de vlek?

Bij wiskunde schrijven ze diezelfde opgave met een letter:
$5+x = 8$
Wat is $x$?

Traditioneel gebruiken we de letter $x$ in zulke formules voor het onbekende getal, maar iedere letter kan gebruikt worden, dus $a$, $b$,$c$, etc. had ook gekund. Het is gewoon een naam voor het onbekende getal.

Maar wat is nu het praktisch nut van die letters? Allereerst is minder werk om als oplossing $x=3$ op te schrijven dan “Het getal dat op de puntjes moet komen te staan is $3$”, of “Het getal dat onder de vlek zit is $3$”. En bij wiskunde ga je niet alleen het antwoord opschrijven, maar ook hoe je aan dat antwoord gekomen bent¹. Daarvoor moet je het vaak meerdere keren hebben over “het onbekende getal”, en dan is het handig om daar een afkorting voor te hebben. Zeker als je bij ingewikkeldere opgaven meerdere onbekende getallen hebt, dan kun je ze ieder een aparte letter geven in plaats van “het ene onbekende getal” en “het andere onbekende getal” 🙂

De traditie om de letter $x$ te gebruiken is trouwens ook de reden dat er bij wiskunde niet meer “$\times$” voor vermenigvuldigen wordt gebruikt, maar “$\cdot$”. Als je handschrift namelijk niet al te netjes is dan lijkt $\times$ wel heel veel op $x$ en dan kan er verwarring ontstaan. Dus in plaats van, bijvoorbeeld, $7 \times x$ schrijven we $7 \cdot x$, en als het geen verwarring veroorzaakt wordt de “$\cdot$” zelfs weggelaten en schrijven we dus $7x$.

Laten we eens een voorbeeld bekijken. Dit is overigens een wat ingewikkelder voorbeeld dan wat je zult krijgen als je net met wiskunde begint, dus geen paniek als je het nog niet helemaal kunt volgen!

In het weerbericht wordt de temperatuur in graden Celsius vermeld, tenminste in de meeste landen. In sommige landen wordt de temperatuur echter gemeten in graden Fahrenheit. Als je in zo’n land op bezoek bent en je ziet dat het 50° graden wordt, dan lijkt dat heel warm, maar misschien kun je dat beter even omrekenen naar de graden Celsius die je gewend bent.

Dat omrekenen is niet zo moeilijk, maar laten we eens kijken wat er gebeurt als ik dat in tekst uitleg en niet met een formule: “Om een temperatuur in Fahrenheit om te rekenen naar Celsius doe je het volgende: Neem de temperatuur in Fahrenheit en trek daar 32 vanaf. Het resultaat daarvan vermenigvuldig je met vijf, en het resultaat van die vermenigvuldiging deel je weer door 9. De uitkomst is de temperatuur in Celsius.”

Dat is dus niet zo moeilijk, maar het is best een lap tekst om te lezen. Hetzelfde kunnen we veel korter in een formule opschrijven:
$$C = \frac{5}{9}(F – 32)$$
Waarbij:
$C = $ de temperatuur in graden Celsius
$F = $ de temperatuur in graden Fahrenheit

Deze formule kunnen we invullen als we, bijvoorbeeld, 50° Fahrenheit willen omrekenen naar Celsius:
$\begin{align}
C = & \frac{5}{9}(50 – 32) \\
C = & \frac{5}{9}(18) \\
C = & \frac{90}{9} \\
C = & 10
\end{align}$
Dus 50° Fahrenheit is 10° Celsius, dus niet tropisch warm, maar vrij frisjes.

We kunnen de formule ook gebruiken om een temperatuur in Celsius om te rekenen naar Fahrenheit, bijvoorbeeld als een tourist die aan Fahrenheit gewend is ons vraagt wat de temperatuur in het weerbericht betekend.

Dat omrekenen kunnen we doen door voor $C$ de temperatuur in graden Celsius in te vullen in de formule. De opgave wordt dan: wat is $F$? De stappen die we daarvoor doen kunnen we iedere keer dat we willen omrekenen opnieuw doen, maar we kunnen ook een algemene formule opschrijven die ons verteld wat we moeten doen, zelfs als de $C$ en $F$ allebei nog niet weten:

$C = \frac{5}{9}(F – 32)$
Ik weet niet welke getallen er links en rechts van het $=$ teken staan, maar het zijn dezelfde (gelijke) getallen. Als ik die allebei met 9 vermenigvuldig dan veranderen beide getallen, maar ze zullen nog steeds aan elkaar gelijk zijn:
$9C = 9\cdot \frac{5}{9}(F-32)$
Vereenvoudig $9 \cdot \frac{5}{9} = 5$:
$9C = 5(F-32)$
Haakjes wegwerken²:
$9C = 5F-160$
Aan beide kanten 160 erbij optellen:
$9C+160 = 5F-160+160$
Vereenvoudig $-160+160$:
$9C+160 = 5F$
Deel beide zijdes van de vergelijking door 5:
$\frac{9C+160}{5} = \frac{5F}{5}$
Breuken vereenvoudigen:
$\frac{9}{5}C+32 = F$
Links en rechts omwisselen:
$F = \frac{9}{5}C+32$
Dus dat is de formule waar we $C$ kunnen invullen en dan $F$ kunnen uitrekenen.

Nou, dat ziet er niet gemakkelijk uit. Was het niet makkelijker om gewoon dat verhaaltje van hoe je Celsius naar Fahrenheit omrekende achterstevoren op te schrijven en alle stappen om te draaien? Dat verhaaltje eindige met delen door 9, en het omgekeerde daarvan is vermenigvuldigen met 9. De stap daarvoor was het vermenigvuldigen met 5 en dat wordt dus delen door 5, en de eerste stap was het aftrekken van 32 en dat wordt dus optellen met 32. Dus om een temperatuur in graden Celsius om te rekenen naar Fahrenheit vermenigvuldig je eerst met negen, deelt dan door 5 en telt er vervolgens 32 bij op. Dus net zoals die formule aangeeft, maar gemakkelijker uitgelegd.

In dit geval is het verhaaltje omdraaien inderdaad korter en wellicht gemakkelijker. Nu is het wel zo dat de stapjes met formules van hierboven heel erg klein zijn, en bij ieder stapje heb ik ook nog een regel commentaar gezet om het stapje uit te leggen. Meestal worden er wat grotere stappen gezet, wordt er van uit gegaan dat de lezer zelf snapt welke regels er gebruikt worden voor de stappen, en waarom die stappen dus correct zijn. Hierdoor zou de uitwerking met formules een stuk korter worden³, maar niet perse gemakkelijker als je nog weinig met wiskunde geoefend hebt:

$C = \frac{5}{9}(F – 32)$
$\frac{9}{5}C = F-32$
$\frac{9}{5}C+32 = F$
$F = \frac{9}{5}C+32$

Maar laat ik een voorbeeld geven van een opgave die niet gemakkelijk op te lossen is door naar het verhaaltje te kijken, en waar we formules nodig hebben:

Voor welke temperatuur gebruiken we in Fahrenheit en Celsius hetzelfde aantal graden?

Hoe pakken we dat aan?
We weten:
$C = \frac{5}{9}(F – 32)$
En laten we de gevraagde temperatuur $x$ noemen. Dan hebben we dus $C = x$ en $F = x$.
Dus de vraag is dan: wat is $x$?

Aanpak: ik kan dit aanpakken door een grafiek te tekenen van de lijn $C = \frac{5}{9}(F – 32)$, en de lijn $C = F$ en dan kijken waar in de grafiek deze lijnen elkaar snijden, maar ik wil het hier over rekenen met letters hebben (algebra), dus dat gebruik ik:

$C = \frac{5}{9}(F – 32)$
Gebruik $C =x$ en $F = x$:
$x = \frac{5}{9}(x-32)$
Vermenigvuldig beide zijdes van de vergelijking met 9:
$9x = 9 \cdot \frac{5}{9}(x-32)$
Vereenvoudig $9 \cdot \frac{5}{9}$:
$9x = 5(x-32)$
Haakjes wegwerken⁴:
$9x = 5x-160$
Aan beide zijdes van de vergelijking $5x$ eraf trekken:
$9x – 5x = 5x-160 -5x$
Vereenvoudig $5x-5x=0$ ⁵:
$9x – 5x = -160$
Vereenvoudig $9x-5x=4x$:
$4x = -160$
Beide kanten delen door 4:
$\frac{4x}{4} = \frac{-160}{4}$
Breuken vereenvoudigen:
$x = -40$

Controle: $C = \frac{5}{9}(F – 32)$ met $F=-40$: $C = \frac{5}{9}(-40-32) = \frac{5}{9}(-72) = \frac{-360}{9} = -40$.

Dus bij precies 40 graden onder nul maakt het niet uit of je graden Celsius of Fahrenheit schaal gebruikt. Voor die temperatuur gebruiken beide schalen hetzelfde getal.

Deze rekensom is iets wat heel goed te doen is met formules, maar wat erg lastig zou zijn als je het als een verhaaltje zonder formules moest opschrijven. De letters in de formules zijn ook nodig. Je zou bijvoorbeeld de stap $9x = 5x-160$ kunnen omschrijven naar $9\times\ldots = 5\times\ldots-160$, maar dan is het niet duidelijk dat op beide puntjes hetzelfde getal moet komen te staan, en niet twee verschillende getallen. Met letters is dat wel duidelijk: dezelfde letter staat overal in de opgave voor hetzelfde getal, terwijl verschillende letters staan voor andere (waarschijnlijk verschillende) getallen. Vandaar dat formules, met letters erin, worden gebruikt bij wiskunde.