Keersommen (Tafels) leren

Op de basisschool is het de bedoeling dat je de keersommen (tafels) met getallen tot en met 10 leert. Je kunt ze natuurlijk gewoon allemaal uit je hoofd leren, maar dat is veel werk. Wat ik veel leuker en interessanter vindt is om patronen te vinden waardoor dat veel minder moeite kost. Als bonus daarbij gaat het bij wiskunde eigenlijk nooit om dingen uit je hoofd te leren, maar altijd om het begrijpen en het herkennen van patronen. Dus die aanpak is een goede oefening voor je latere wiskunde carrière.

Waarom willen die leraren eigenlijk dat je de tafels zo goed kent? Nou, bij wiskunde bouwen we iedere keer verder op wat je eerder hebt geleerd. Daarom is het heel belangrijk dat je de basisvaardigheden goed beheerst, anders krijg je het later lastig. Je hebt de tafels bijvoorbeeld nodig om vermenigvuldigingen (keersommen) te maken met grotere getallen. Net zoals de optel sommetjes met getallen tot en met 10 je helpen grotere getallen bij elkaar op te tellen, helpen de tafels met getallen tot en met 10 je bij het vermenigvuldigen van grotere getallen. Maar voordat je kunt rekenen met grotere getallen moet je die berekeningen met kleinere getallen goed kennen.

De Tafels tot en met 10

Laten we eens kijken naar alle tafels die je moet kennen:

\[\tiny{\begin{alignat}{11}
0\times 0 &= 0 &\quad 0 \times 1 &= 0 &\quad 0\times 2 &= 0 &\quad 0\times 3 &= 0 &\quad 0\times 4 &= 0 &\quad 0\times 5 &= 0 &\quad 0 \times 6 &= 0 &\quad 0 \times 7 &= 0 &\quad 0 \times 8 &= 0 &\quad 0 \times 9 &= 0 &\quad 0 \times 10 &= 0 \\

1 \times 0 &= 0 & 1 \times 1 &= 1 & 1 \times 2 &= 2 & 1 \times 3 &= 3 & 1 \times 4 &= 4 & 1 \times 5 &= 5 & 1 \times 6 &= 6 & 1 \times 7 &= 7 & 1 \times 8 &= 8 & 1 \times 9 &= 9 & 1 \times 10 &= 10 \\

2 \times 0 &= 0 & 2 \times 1 &= 2 & 2 \times 2 &= 4 & 2 \times 3 &= 6 & 2 \times 4 &= 8 & 2 \times 5 &= 10 & 2 \times 6 &= 12 & 2 \times 7 &= 14 & 2 \times 8 &= 16 & 2 \times 9 &= 18 & 2 \times 10 &= 20 \\

3 \times 0 &= 0 & 3 \times 1 &= 3 & 3 \times 2 &= 6 & 3 \times 3 &= 9 & 3 \times 4 &= 12 & 3 \times 5 &= 15 & 3 \times 6 &= 18 & 3 \times 7 &= 21 & 3 \times 8 &= 24 & 3 \times 9 &= 27 & 3 \times 10 &= 30 \\

4 \times 0 &= 0 & 4 \times 1 &= 4 & 4 \times 2 &= 8 & 4 \times 3 &= 12 & 4 \times 4 &= 16 & 4 \times 5 &= 20 & 4 \times 6 &= 24 & 4 \times 7 &= 28 & 4 \times 8 &= 32 & 4 \times 9 &= 36 & 4 \times 10 &= 40 \\

5 \times 0 &= 0 & 5 \times 1 &= 5 & 5 \times 2 &= 10 & 5 \times 3 &= 15 & 5 \times 4 &= 20 & 5 \times 5 &= 25 & 5 \times 6 &= 30 & 5 \times 7 &= 35 & 5 \times 8 &= 40 & 5 \times 9 &= 45 & 5 \times 10 &= 50 \\

6 \times 0 &= 0 & 6 \times 1 &= 6 & 6 \times 2 &= 12 & 6 \times 3 &= 18 & 6 \times 4 &= 24 & 6 \times 5 &= 30 & 6 \times 6 &= 36 & 6 \times 7 &= 42 & 6 \times 8 &= 48 & 6 \times 9 &= 54 & 6 \times 10 &= 60 \\

7 \times 0 &= 0 & 7 \times 1 &= 7 & 7 \times 2 &= 14 & 7 \times 3 &= 21 & 7 \times 4 &= 28 & 7 \times 5 &= 35 & 7 \times 6 &= 42 & 7 \times 7 &= 49 & 7 \times 8 &= 56 & 7 \times 9 &= 63 & 7 \times 10 &= 70 \\

8 \times 0 &= 0 & 8 \times 1 &= 8 & 8 \times 2 &= 16 & 8 \times 3 &= 24 & 8 \times 4 &= 32 & 8 \times 5 &= 40 & 8 \times 6 &= 48 & 8 \times 7 &= 56 & 8 \times 8 &= 64 & 8 \times 9 &= 72 & 8 \times 10 &= 80 \\

9 \times 0 &= 0 & 9 \times 1 &= 9 & 9 \times 2 &= 18 & 9 \times 3 &= 27 & 9 \times 4 &= 36 & 9 \times 5 &= 45 & 9 \times 6 &= 54 & 9 \times 7 &= 63 & 9 \times 8 &= 72 & 9 \times 9 &= 81 & 9 \times 10 &= 90 \\

10 \times 0 &= 0 & 10 \times 1 &= 10 & 10 \times 2 &= 20 & 10 \times 3 &= 30 & 10 \times 4 &= 40 & 10 \times 5 &= 50 & 10 \times 6 &= 60 & 10 \times 7 &= 70 & 10 \times 8 &= 80 & 10 \times 9 &= 90 & 10 \times 10 &= 100 \\

\end{alignat}}\]

Dat zijn er nogal wat! 121 om precies te zijn. Als je ze allemaal uit je hoofd kunt leren dan is dat heel mooi, maar mij is dat nooit gelukt. Toch kan ik snel het goede antwoord geven als iemand mij naar een van deze keersommen vraagt. Daar heb ik een aantal trucjes voor, en die ga ik in de rest van deze post uitleggen.

Deze trucjes komen er eigenlijk op neer dat je snel het antwoord op de keersom gaat uit rekenen¹Dit is de klassieke space-time trade-off uit de informatica: je kunt kiezen tussen meer geheugen gebruiken of meer werk verzetten 🙂. Dat rekenen kost natuurlijk tijd, maar door veel te oefenen wordt die tijd een stuk korter. Sterker nog, misschien begin je wel met leren via deze trucjes, maar na veel oefenen kun je zo snel worden dat je de tafels gewoon uit je hoofd kent. Een leraar kan namelijk niet zien of je alle tafels uit je hoofd kent, of dat je een trucje gebruikt om het antwoord te geven. En zolang je maar het goede antwoord geeft, en daar niet te lang over doet, maakt het ook niet uit²Ik herinner mij een mondelinge overhoring die vrij lang duurde. Volgens mij dacht de leraar dat ik de tafels niet goed kende omdat ik wat langer na moest denken dan andere leerlingen..

Overigens is wat hier volgt de lijst van trucjes die ik ken en gebruik, maar ik moedig je aan om zelf naar de tafels te kijken om te zien of je zelf patronen herkent. Dat is een goede oefening, en het is veel gemakkelijker om ze te onthouden als je ze zelf verzonnen hebt.

Volgorde maakt niet uit

Dit is de truc die je het meest oplevert: bij vermenigvuldigen maakt het niet uit in welke volgorde je de getallen vermenigvuldigt³Wiskundigen zeggen, met moeilijke woorden, dat vermenigvuldigen commutatief en associatief is. In dit geval gaan we van de commutativiteit gebruik maken..

Als je het keer (\(\times\)) symbool ziet dan kun je dat in je hoofd vervangen door “groepjes van”. Dus \(3 \times 4\) is hetzelfde als “3 groepjes van 4” en dat is evenveel als \(4 \times 3\) ofwel “4 groepjes van 3”: in totaal zijn ze allebei 12.

Hoe gebruik je dit om de tafels te leren? Nou, het betekent dat je maar ongeveer de helft uit je hoofd hoeft te leren. Als je een keer sommetje ziet dan kun je in je hoofd altijd het kleinste getal voorop zetten, of juist altijd het grootste getal voorop zetten, net wat je het gemakkelijkste vindt.

Als je altijd het kleinste getal voorop zet dan hoef je daarna alleen deze keersommen uit het hoofd te leren:

\[\tiny{\begin{alignat}{11}
0\times 0 &= 0 &\quad 0 \times 1 &= 0 &\quad 0\times 2 &= 0 &\quad 0\times 3 &= 0 &\quad 0\times 4 &= 0 &\quad 0\times 5 &= 0 &\quad 0 \times 6 &= 0 &\quad 0 \times 7 &= 0 &\quad 0 \times 8 &= 0 &\quad 0 \times 9 &= 0 &\quad 0 \times 10 &= 0 \\
& & 1 \times 1 &= 1 & 1 \times 2 &= 2 & 1 \times 3 &= 3 & 1 \times 4 &= 4 & 1 \times 5 &= 5 & 1 \times 6 &= 6 & 1 \times 7 &= 7 & 1 \times 8 &= 8 & 1 \times 9 &= 9 & 1 \times 10 &= 10 \\
& & & & 2 \times 2 &= 4 & 2 \times 3 &= 6 & 2 \times 4 &= 8 & 2 \times 5 &= 10 & 2 \times 6 &= 12 & 2 \times 7 &= 14 & 2 \times 8 &= 16 & 2 \times 9 &= 18 & 2 \times 10 &= 20 \\& & & & & & 3 \times 3 &= 9 & 3 \times 4 &= 12 & 3 \times 5 &= 15 & 3 \times 6 &= 18 & 3 \times 7 &= 21 & 3 \times 8 &= 24 & 3 \times 9 &= 27 & 3 \times 10 &= 30 \\
& & & & & & & & 4 \times 4 &= 16 & 4 \times 5 &= 20 & 4 \times 6 &= 24 & 4 \times 7 &= 28 & 4 \times 8 &= 32 & 4 \times 9 &= 36 & 4 \times 10 &= 40 \\
& & & & & & & & & & 5 \times 5 &= 25 & 5 \times 6 &= 30 & 5 \times 7 &= 35 & 5 \times 8 &= 40 & 5 \times 9 &= 45 & 5 \times 10 &= 50 \\
& & & & & & & & & & & & 6 \times 6 &= 36 & 6 \times 7 &= 42 & 6 \times 8 &= 48 & 6 \times 9 &= 54 & 6 \times 10 &= 60 \\
& & & & & & & & & & & & & & 7 \times 7 &= 49 & 7 \times 8 &= 56 & 7 \times 9 &= 63 & 7 \times 10 &= 70 \\
& & & & & & & & & & & & & & & & 8 \times 8 &= 64 & 8 \times 9 &= 72 & 8 \times 10 &= 80 \\
& & & & & & & & & & & & & & & & & & 9 \times 9 &= 81 & 9 \times 10 &= 90 \\
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 10 \times 10 &= 100 \\
\end{alignat}}\]

Als je altijd het grootste getal voorop zet hoef je daarna alleen deze keersommen uit het hoofd te leren:

\[\tiny{\begin{alignat}{11}

0\times 0 &= 0 &\quad \phantom{0 \times 1} &\phantom{= 0} &\phantom{\quad 0\times 2} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0\times 3} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0\times 4} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0\times 5} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0 \times 6} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0 \times 7} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0 \times 8} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0 \times 9} &\phantom{= 0} &\quad \phantom{0 \times 10} &\phantom{= 0} \\

1 \times 0 &= 0 & 1 \times 1 &= 1 \\

2 \times 0 &= 0 & 2 \times 1 &= 2 & 2 \times 2 \\

3 \times 0 &= 0 & 3 \times 1 &= 3 & 3 \times 2 &= 6 & 3 \times 3 &= 9 \\

4 \times 0 &= 0 & 4 \times 1 &= 4 & 4 \times 2 &= 8 & 4 \times 3 &= 12 & 4 \times 4 &= 16 \\

5 \times 0 &= 0 & 5 \times 1 &= 5 & 5 \times 2 &= 10 & 5 \times 3 &= 15 & 5 \times 4 &= 20 & 5 \times 5 &= 25 \\

6 \times 0 &= 0 & 6 \times 1 &= 6 & 6 \times 2 &= 12 & 6 \times 3 &= 18 & 6 \times 4 &= 24 & 6 \times 5 &= 30 & 6 \times 6 &= 36 \\

7 \times 0 &= 0 & 7 \times 1 &= 7 & 7 \times 2 &= 14 & 7 \times 3 &= 21 & 7 \times 4 &= 28 & 7 \times 5 &= 35 & 7 \times 6 &= 42 & 7 \times 7 &= 49 \\

8 \times 0 &= 0 & 8 \times 1 &= 8 & 8 \times 2 &= 16 & 8 \times 3 &= 24 & 8 \times 4 &= 32 & 8 \times 5 &= 40 & 8 \times 6 &= 48 & 8 \times 7 &= 56 & 8 \times 8 &= 64 \\

9 \times 0 &= 0 & 9 \times 1 &= 9 & 9 \times 2 &= 18 & 9 \times 3 &= 27 & 9 \times 4 &= 36 & 9 \times 5 &= 45 & 9 \times 6 &= 54 & 9 \times 7 &= 63 & 9 \times 8 &= 72 & 9 \times 9 &= 81 \\

10 \times 0 &= 0 & 10 \times 1 &= 10 & 10 \times 2 &= 20 & 10 \times 3 &= 30 &10 \times 4 &= 40 & 10 \times 5 &= 50 & 10 \times 6 &= 60 & 10 \times 7 &= 70 & 10 \times 8 &= 80 & 10 \times 9 &= 90 & 10 \times 10 &= 100 \\

\end{alignat}}\]

In beide gevallen blijven er maar 66 keersommen over om uit je hoofd te leren. Dat zijn er al een stuk minder dan de 121 waarmee we begonnen. En het enige wat je moet doen voor deze truc is soms de getallen omwisselen.

Je kunt dat omwisselen heel structureel doen; altijd het grootste getal voorop, of altijd het kleinste getal voorop, of je kunt het doen zoals het voor jou het gemakkelijkste werkt. Ikzelf zet meestal het kleinste getal voorop, maar soms vind ik het grootste getal voorop gemakkelijker, en soms maakt het niet uit omdat ik de keersom in allebei de volgordes geleerd heb.

Als je alle tafels wel uit je hoofd leert, kun je dit trucje trouwens ook gebruiken om je antwoord te controleren. Als \(3 \times 7\) moet beantwoorden, en je denkt het antwoord te weten (21), dan kun je even kijken of de keersom met de getallen omgedraaid (\(7 \times 3\)) volgens jou hetzelfde antwoord heeft. Zo ja, dan kun je er vrij zeker van zijn dat je antwoord goed is.

Let trouwens wel op bij andere sommen die nog iets meer doen dan alleen vermenigvuldigen (\(\times\)), bijvoorbeeld optellen (\(+\)). De volgorde bij vermenigvuldigen maakt niet uit, en de volgorde bij optellen maakt ook niet uit, maar de volgorde tussen het optellen en vermenigvuldigen maakt wel uit, dus die mag je niet zomaar veranderen. Dus deze volgordes mag je verwisselen: \(2+(7\times 3) = 2+(3 \times 7) = (3 \times7 ) + 2 = (7 \times 3) + 2\), maar deze volgordes niet: \(2+(7\times 3) \neq (2+7) \times 3\) en \(2+( 3\times 7) \neq (2+3) \times 7 \).

Tafel van 0

Vermenigvuldigen met 0 is altijd 0. Dus de tafel van 0 heeft altijd als uitkomst 0, en dat is de enige uitkomst die je hoeft te onthouden.

Je kunt dit gebruiken, samen met de kennis dat de volgorde bij vermenigvuldigen niet uitmaakt om snel keersommen uit te rekenen die heel moeilijk lijken: \(3 \times 4 \times 7 \times 0 \times 9 \times 5\). Omdat er ergens in de som met 0 vermenigvuldigd wordt, is de uitkomst uiteindelijk gewoon 0.

Tafel van 1

De tafel van 1 is ook heel gemakkelijk: vermenigvuldigen met 1 is hetzelfde als niets doen⁴In de wiskunde wordt 1 daarom ook wel het identiteitselement van vermenigvuldigen genoemd.. Net zoals bij optellen het optellen van 0 bij een getal hetzelfde is als niets doen.

Als je dus een willekeurig getal \(a\) hebt weet je altijd dat \(a \times 1 = a\).

De tafel van 1 heeft dus allemaal verschillende uitkomsten, maar de uitkomst is het getal dat je met 1 vermenigvuldigd. Dus je hoeft niet te rekenen of de verschillende uitkomsten te onthouden, alleen dat vermenigvuldigen met 1 niks doet.

Tafel van 2 (verdubbelen)

De tafel van 2, of vermenigvuldigen met 2 komt neer op verdubbelen. Dus, in plaats van de hele tafel uit je hoofd te leren, kun je ook gewoon het getal dat je met 2 vermenigvuldigd bij zichzelf optellen.

Als je een willekeurig getal \(a\) hebt dan is dus \(a \times 2 = a + a\).

En voordat je de tafels geleerd hebt, heb je de optelsommetjes met getallen tot en met 10 heel veel geoefend. Die ken je al, dus de tafel van 2 leren is dan niet zo moeilijk meer. (Had ik zal gezegd dat we bij wiskunde iedere keer verder bouwen op wat je eerder hebt geleerd? 🙂 )

De tafel van 2, of snel getallen kunnen verdubbelen is ook heel handig voor het leren van de andere tafels⁵en ook als je later iets met computers of software wilt gaan doen, en het is dus goed als je deze tafel niet alleen tot en met 10 kent, maar ook voor grotere getallen.

Voor grotere getallen kun je ook het optel trucje gebruiken dat je voor getallen onder de 10 gebruikt. Als je een beetje handig bent met optellen dan is dat misschien het gemakkelijkste.

Wat je ook kunt doen om grotere getallen te verdubbelen is de tientallen en eenheden verdubbelen⁶Wat we in feite doen is zeggen \(a = b+c\) met \(b\) voor de tientallen en \(c\) voor de eenheden en dan weten we \(a \times 2 = (b+c)\times 2= b \times 2 + c \times 2\), hierbij gebruiken we de distributiviteit van vermenigvuldigen over optellen.: \(32\times 2 = 64\) want het dubbele van 30 is 60 en het dubbele van 2 is 4, en samen is dat dus 64. Dit is gemakkelijk, totdat de getallen iets groter worden, dan moet je even iets beter opletten: \(87 \times 2\) het dubbele van 80 is 160 en het dubbele van 7 is 14, en samen is dat dus 174.

Tafel van 3

Bij de tafel van 3 wordt het iets ingewikkelder, maar er zijn verschillende manieren om deze tafel te leren.

Vermenigvuldigen is niets meer dan herhaald optellen, dat zagen we al bij de tafel van 2, en dat is niet anders bij de tafel van 3:

Als je een willekeurig getal \(a\) hebt dan is \(a \times 3 = a + a + a\).

Maar je kunt er ook anders tegenaan kijken: 3 is 1 meer dan 2, dus als je de tafel van al 2 hebt geleerd dan is 3 niet meer zo lastig.

Als je een willekeurig getal \(a\) hebt dan is \(a \times 3 = a \times 2 + a\).

Dus je kunt het getal \(a\) verdubbelen en dan er nog eens een keer extra bij optellen. Als je de tafel van 2 al kent, en een beetje handig bent met optellen dan is dit misschien het gemakkelijkste voor je. (Had ik zal gezegd dat we bij wiskunde iedere keer verder bouwen op wat je eerder hebt geleerd? 🙂 )

Tafel van 4

Bij de tafel van 4 wordt het tijd voor een nieuwe truc. Je kunt de tafel van 4 natuurlijk uitrekenen met de vorige methodes, zoals herhaal optellen \(a \times 4 = a + a + a + a\), of door te gebruiken dat 4 maar 1 meer is dan 3 en dat je de tafel van 3 al hebt geleerd. Dat kan, maar dan heb je als best veel stappen nodig, en (tenzij je heel snel bent) zal het je meer tijd kosten om met het antwoord te komen.

De truc voor de tafel van 4 die ik het handigste vind is als volgt: gebruik dat \(4 = 2 \times 2\), ofwel 4 is het dubbele van 2. Dus de tafel van 4 is ook het dubbele van de tafel van 2.

Als je een willekeurig getal \(a\) hebt dan is \(a \times 4 = a \times 2 \times 2\).

Dus gewoon twee keer achter elkaar verdubbelen: \(7 \times 4 = 7 \times 2 \times 2 = 14 \times 2 = 28\). Als je de tafel van 2 goed kent, ook voor grotere getallen, dan is dit een erg snelle methode die slechts uit twee stappen bestaat: verdubbelen en nog eens verdubbelen.

Tafel van 5

Voor de tafel van 5 heb ik twee trucjes.

Allereerst weten we dat vermenigvuldigen hetzelfde is als herhaald optellen: \(a \times 5 = a + a + a + a + a\), maar 5 willekeurige getallen bij elkaar optellen is best veel werk. We weten ook dat de volgorde bij vermenigvuldigen niet uitmaakt, dus: \(a \times 5 = 5 \times a = \underbrace{5 + \cdots + 5}_{\text{in totaal } a \text{ vijfjes}}\).

Dus, in plaats van 5 keer het getal \(a\) op te tellen, kunnen we \(a\) keer het getal 5 optellen, en dat is meestal een stuk gemakkelijker.

Een andere truc is dat 5 de helft van 10 is. Dus we kunnen ook gewoon de tafel van 10 leren (die is vrij gemakkelijk) en dan door twee delen. Dus \(5 = 10 : 2\) en daarom \(a \times 5 = (a \times 10) : 2\). Dus dan heb je slechts twee stappen nodig: vermenigvuldigen met 10 en delen door 2. Daarbij komt het mooi uit dat vermenigvuldigen met 10 mooie ronde getallen oplevert, wat delen door 2 wat gemakkelijker maakt.

Tafel van 6

Voor de tafel van 6 maken we gebruik van \(6 = 3 \times 2\), ofwel dat 6 het dubbele van 3 is. Dus de tafel van 6 is het dubbele van de tafel van 3. Als je de tafel van 3 en de tafel van 2 al kent dan is de tafel van 6 niet zo moeilijk meer.

Als je een willekeurig getal \(a\) hebt dan is \(a \times 6 = a \times 3 \times 2\).

Dus eerst kijk je wat de tafel van 3 als uitkomst geeft en vervolgens verdubbel je die uitkomst.

Tafel van 7

Voor de tafel van 7 heb ik helaas geen goede truc. Maar als je alle andere tafels goed kent dan is dat geen probleem: we weten dat de volgorde bij vermenigvuldigen niet uit maakt, dus je kunt altijd de getallen omwisselen zodat je het antwoord uit een van de andere tafels kunt halen. De enige keersom waarbij dat niet gaat is \(7 \times 7\); als je die omdraait dan heb je nog steeds \(7\times 7\), dus die moet je gewoon uit je hoofd leren: \(7 \times 7 = 49\).

Tafel van 8

Voor de tafel van 8 kunnen we gebruik maken van \(8 = 2 \times 2 \times 2\), of wel dat 8 het dubbele van het dubbele van 2 is. Dus als je goed in verdubbelen bent dan is de tafel van 8 niet zo lastig.

Als je een willekeurig getal \(a\) hebt dan is \(a \times 8 = a \times 2 \times 2 \times 2\).

Dus gewoon drie keer achter elkaar verdubbelen: \(7 \times 8 = 7 \times 2 \times 2 \times 2= 14 \times 2 \times 2= 28 \times 2 = 56\). Als je de tafel van 2 goed kent (ook voor grotere getallen) dan is dit een snelle methode die slechts uit drie stappen bestaat: verdubbelen, verdubbelen, en nog eens verdubbelen.

Nu moet ik bekennen dat ik deze truc zelf niet gebruik. Doordat ik de andere tafels goed ken heb ik gewoon \(7 \times 8 = 56\) en \(8 \times 8 = 64\) uit mijn hoofd geleerd. Voor alle andere antwoorden draai ik de getallen om en gebruik een van de andere tafels. Dat vond ik het gemakkelijkste, en zo zou jij de trucjes in deze post ook moeten bekijken; welke vind jij gemakkelijk en werken het beste voor jou?

Tafel van 9

Voor de tafel van 9 heb ik weer twee trucjes, hoewel het eigenlijk dezelfde truc is.

Allereerst is 9 gewoon 1 minder dan 10, en daar kunnen we gebruik van maken⁷Wat we in feite doen is zeggen \(9 =10 – 1\) en dan weten we \(a \times 9 = a \times (10-1) = (a \times 10) – a \times 1 = (a \times 10) – a\), hierbij gebruiken we de distributiviteit van vermenigvuldigen over aftrekken.:

Als je een willekeurig getal \(a\) hebt dan is \(a \times 9 = (a \times 10) – a\).

Dus je kijkt wat het antwoord voor de tafel van 10 is en trekt er dan het oorspronkelijke getal nog een keer vanaf.

De andere truc komt op hetzelfde neer: “\(a\) keer negen is \((10-a)\)-en-\((a-1)\)-tig.”. Dus “vier keer negen is zes-en-dertig”, want met \(a=4\) hebben we 10-4=6 en 4-1 = 3. Dit regeltje laat je heel snel het antwoord op de tafel van 9 opdreunen.

Dit laatste regeltje is erg handig voor mondelinge overhoringen, maar het nadeel is dat je niet precies weet waarom het werkt. Bij alle andere trucjes in deze post heb ik proberen uit te leggen waarom ze werken. Dat vind ik belangrijk omdat je dan voor jezelf kunt controleren of de truc werkt, en als je weet waarom het werkt dan is het ook gemakkelijker om te onthouden. Bovendien heb je inzicht gekregen in het rekenen en dat gaat je helpen bij je verdere wiskunde carrière. Het bovenstaande regeltje geeft echter weinig inzicht, want het heeft niet zoveel logica, en er is dus een grote kans dat je de truc verkeerd onthoudt.

Tafel van 10

De tafel van 10 is misschien wel het gemakkelijkste van allemaal: zet gewoon een nulletje achter het getal dat je vermenigvuldigt 🙂

Rekenen op je vingers

Voor de tafels van 6 en hoger kun je ook op je vingers rekenen. Dit is weer zo’n truc die werkt, maar die niet echt helpt met je inzicht in het rekenen te geven. Dus wat dat betreft zou ik ‘m niet aanbevelen. Aan de andere kant zijn alle trucjes in deze post tot nu toe dingen die je puur in je hoofd doet, dus het is misschien goed om deze af te wisselen met een truc die je met je lichaam kunt doen.

Deze truc heb ik niet zelf verzonnen, maar gevonden op Scientific American en daar wordt het “Poolse hand magie” genoemd.

Het komt er op neer dat je voor vermenigvuldigen van twee getallen, waarbij de getallen groter dan vijf zijn, je vingers kunt gebruiken. Dit gaat als volgt:

1. Trek 5 af van het eerste nummer en steek zoveel vingers op met je ene hand.
2. Doe hetzelfde voor het andere nummer op je andere hand.
3. Tel het aantal opgestoken vingers en vermenigvuldig met 10.
4. Vermenigvuldig het aantal vingers die niet zijn opgestoken.
5. Tel de getallen bij elkaar op.

Voorbeeld: als ik \(7 \times 8\) wil uitrekenen dan steek ik 2 vingers op bij mijn linkerhand (want \(7-5=2\)) en 3 vingers bij mijn rechterhand, (want \(8-5=3\)). Dat zijn in totaal 5 opgestoken vingers en \(5\times 10 = 50\). Links heb ik 3 vingers niet opgestoken en rechts heb ik 2 vingers niet opgestoken, als ik die vermenigvuldig dan krijg ik \(3 \times 2 = 6\). Het antwoord is dan \(50 + 6 = 56\), dus \(7 \times 8 = 56\).

Nog een voorbeeld: \(7 \times 6\). Links steek ik 2 vingers op en rechts 1 vinger. Dat zijn 3 opgestoken vingers in totaal en \(3 \times 10 = 30\). Links heb ik 3 vingers niet opgestoken, en rechts 4 vingers niet, als ik die vermenigvuldig dan krijg ik \(3 \times 4 = 12\). Het antwoord is dan \(30 + 12 = 42\), dus \(7 \times 6 = 42\).

Waarom werkt deze truc? Als je wat verder met wiskunde bent dan is dat heel interessant om dat te begrijpen, maar voor iemand die net de tafels leert heeft het weinig toegevoegde waarde. Als je het wilt weten, kijk dan even in het originele artikel van Scientific American.

Overigens heb ik deze truc ook op andere websites gezien, maar daar wordt vaak uitgelegd dat je vingers tegen elkaar moet gaan houden en dan tellen hoeveel vingers elkaar raken, of hoeveel vingers er boven/onder het raakpunt zitten. Ik vond die uitleg nogal verwarrend, zelfs met plaatjes, vandaar dat ik het hier heb uitgelegd met een methode waarbij vingers worden opgestoken.

Tot slot

Dit is een heel lange post met heel veel informatie erin. Mijn advies is zelf aan de slag te gaan met de tafels en kijken welke patronen en trucjes je zelf kunt verzinnen, die zijn namelijk het gemakkelijkste om te onthouden, maar als je wilt kun je natuurlijk ook de trucjes uit deze post gebruiken.

Het belangrijkste is echter dat je oefent. Een keer deze post lezen help niet, je moet met de tafels oefenen, net zo lang totdat je moeiteloos het goede antwoord kunt geven. De tafels zelf, en de trucjes en patronen die je hebt gevonden om de tafels te leren zullen je bij de latere wiskunde lessen goed van pas komen.